Numerisk sensibilitet.

Om man efter 1000 år släpper ut anden ur buteljen blir man i bästa fall renderad att fritt önska sig något. Vad man i detta lyckosamma läge formulerar beror ganska uppenbart på vilken personlighetstyp man tillhör.

• Den lycklige struntar i vilket eftersom definitionen på lycka är att alltid vilja ha det man får.
• Lycksökaren vill till varje pris ha guld och gröna skogar och det i så stora volymer som möjligt.
• Alkoholisten vill ha en spritbutelj med oändligt innehåll!
• Den religiöse vill ha sin egen gud presenterad för sig.
• Tennistradern vill veta hur matcherna går i förväg utan att vara kompis med ryssar och spanjorer.
• Den realistiske svensken vill ha ett långt och hälsosamt liv, icke nödvändigtvis för sig själv men åtminstone för sina barn.
• En matematiker som jag själv vill ha svar på en fråga som pinat mig i 30 långa års tid. Den mest gäckande ouppklarade frågan (för mig) är huruvida vårt matematiska π är normalt, det vill säga om alla siffror och sifferkombinationer, i alla talsystem, förekommer med samma sannolikhet som om talet vore helt "slumpmässigt". Statistiska undersökningar av miljardtals decimaler som beräknats med datorer pekar åt det hållet, men matematiska bevis saknas.

Talet π är en matematisk konstant som bland annat representerar förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter. Decimalerna fortsätter i oändligheten utan att uppvisa någon regelbundenhet. Talet är irrationellt, och dessutom transcendent (det kan inte uttryckas algebraiskt). Utöver dessa egenskaper är π intressant eftersom det dyker upp på många olika håll inom matematiken, somliga till synes helt utan koppling till det geometriska ursprunget. Talet har studerats av framstående matematiker under alla tider, men flera frågor är ännu ouppklarade. Det är alltså oerhört svårt att bevisa att alla decimaler i π dyker upp oändligt många gånger och jag känner inte till om någon överhuvudtaget arbetar med problemet. Svaret på frågan är intressant ur många aspekter!

Frågan jag vill ha svar på handlar alltså om varje siffra i utvecklingen av π, oavsett vilken talbas man använder sig av, typ vårt eget decimalsystem eller det binära eller något annat, förekommer oändligt antal gånger.

• Decimalutveckling av π: 3,14159265358979323846…
• Hexadecimal variant: 3,243F6A8885A308D31319…
• Binär representation: 11,00100100001111110110…
• Osv osv!

Här är 3 av de många talsystem som man kan använda för att beteckna π. Av en ren slump dyker givetvis vissa siffror upp i olika talföljder. Som kuriosa kan nämnas att siffran 9 förekommer 6 gånger i rad ganska tidigt i decimautvecklingen av π (decimal 762-767). Särskilt många i rad av samma sort får man aldrig "se" av rent statistiska skäl. Om decimalerna förekommer slumpmässigt skulle det inte ens efter miljarder år av datorberäkningar hinnas med att hitta exempelvis 100 stycken i rad av samma siffra, även om en godtyckligt lång sekvens av en godtycklig kombination av decimaler alltid förekommer någonstans med 100 % sannolikhet i en oändligt lång rad av slumpmässigt fördelade tal!

Carl Sagan skrev 1985 en roman, Contact, på temat mysteriet med π och jag har inte "släppt" frågan sedan dessa. Judie Foster har huvudrollen när man gjorde film av boken 1997. Man skulle kunna sammanfatta hela intrigen i Carl Sagans bok med att det händer märkliga saker när man undersöker tillräckligt många decimaler av π. Carl Sagan fick på sin tid ett förskott på rekordsumman 2 miljoner dollar innan han ens började skriva boken. Jag fick syn på den i bokhyllan igår och började bläddra i den. Resultatet blev det här blogginlägget. Inte illa!