Utan multinomialkoefficienter är livet inte värt att leva.

Jag skrev om MultinomialTeoremet för några veckor sedan. Få svenskar har hört talas om det, ännu färre kan använda sig av det. Kanske en handfull människor i detta avlånga land använder sig av det regelbundet i sin icke-triviala form. Förmodligen är det bara Mekong som dagligen ägnar tid åt detta teorem.

Denna för många trista matematiska uppenbarelse kanske blir något mera attraktiv för några om man påpekar dess betydelse för pokerteoretiska uträkningar. Det går exempelvis att räkna ut antalet tänkbara pokerhänder på 5 kort, det mest triviala pokerteoretiska resultat som nog de flesta seriösa pokerspelare har ett hum om. Svaret är förresten 2 598 960 stycken och för den uträkningen användes delar av MT ovan, de så kallade MultinomialKoefficienterna i följande exakta form (52!/(47!5!) = 2 598 960).

Sen kan man räkna ut alla möjliga intressanta sannolikheter som har med poker att göra. De flesta som är nyfikna på detta använder givetvis pokerlitteraturen där färdiga tabellverk står till buds i det flesta seriösa böcker.

Nog om detta. Nu till dagens intressanta anekdot om hur MT och MK gav mig stora inkomster i Thailand härom året! Jag har skrivit om spelmarknaden i Thailand många gånger under årens lopp och om hur sådan verksamhet ibland är förenad med livsfara. Det vimlar av illegala casinon, pokerrum och spellokaler i detta land. Själv brukar jag oftast besöka skandinaviska pokerrum eller ställen där gurkturneringar ordnas för på sådan ställen går det stillsammare till än i en svensk bingolokal.

Ibland har jag varit med och arrangerat egna spelevents typ den där casinobåten jag skrev om i somras. Den följande historien utspelades på land och även den här gången var norrmän inblandade. Spel om pengar i fulla och välbärgade norrmäns sällskap är alltid lönsamma tillställningar, särskilt som dessa ofta tar vansinniga beslut för att försöka klå en svensk på pengar.

Mitt spelupplägg gick till på följande vis. Banken delade ut en kortlek på samma vis som till en bridgehand eller 4-manna-wist men med korten synliga på bordet. Sedan fick man spela på olika händelser som kunde inträffa med olika odds satta på dessa. I vilken hög kan man hitta den bästa pokerhanden osv med givetvis 4 i odds till vinnande hög. Låter trivialt men bara den saken är ganska spännande eftersom livespel är tillåtet under kortutdelningen.

Jag föreslog den gången att vi skulle ha odds på om det hamnade exakt ett ess i varje hög. Jag tyckte 3 i odds skulle vara lämpligt men efter lite "debatt" med norrmännen hamnade vi till slut på 5. Jag kände givetvis till det rätta oddset i detta fall men fakta i dessa sammanhang är mest guldkantade i sin hemliga form.

Vad borde nu ett rättvist odds ligga på när 4 spelare ska ha exakt 1 ess var när leken är utdelad och klar? Det totala antalet tänkbara bridgehänder räknas ut med hjälv av MK ovan och svaret blir

53,6 oktiljoner eller 53 644 737 765 488 800 000 000 000 000 om man är exakt.

Antalet varianter där varje spelare får 1 ess blir

5,66 oktiljoner eller 5 659 423 235 091 420 000 000 000 000 stycken.

Delar vi dessa tal med varandra blir svaret 0,10550. Det är alltså bara i cirka var tionde giv som varje spelare får ett ess på hand så ett rättvist odds för hasarden ovan blir då 9 om banken ska ha en liten procent på sin sida. Rent intuitivt tror man att denna händelse bör vara vanligare än 1 på 10 och det var detta faktum jag utnyttjade vid de "spelteoretiska resonemang" jag förde med icke helt nyktra norrmän! Jag vill gärna påpeka att jag själv inte var skrämmande nykter vid denna "milstolpe" i min spelkarriär.

Inte nog med att norrmännen lirade lite väl häftigt på den överenskomna 5-oddsaren ovan utan de hemföll till den katastrofala dubblingsprincipen när de förlorade. Det är ett katastrofalt spelsystem redan när utfallen är nästan binära som på svart eller rött på rouletten.

Jag kan bara säga att det var enbart kul att lite norska oljepengar hamnade på rätt sida gränsen den här gången.

I det här sammanhanget var det inte bara jag som höll bank utan andra höll den ibland men de stora pengarna kom in när svensken skulle fås att förlora. När jag var bank erbjöd jag även livespel ända fram tills dess att 2 ess eventuellt hamnat i olika högar, givetvis med sänkta odds. Det är en intressant fråga att veta exakt vad de rättvisa oddsen borde vara under tiden som varje kort delas ut. Matematiskt sett är det inget trivialt problem att räkna på detta och jag har inte ens försökt. Det enklaste vore att skriva ett litet simuleringsprogram (har nog redan grunden till ett sådant om jag tänker efter), köra några miljoner händer och sedan räkna på statistiken därifrån, så kallad montecarlosimulering. Skulle säkert ta 2 dagars arbete i anspråk så det får vänta tills jag är undersysselsatt pensionär.

Det är sådan simulering man gör på teve när man räknar ut olika pokerhänders vinstchanser mot varandra. Är lätt att hitta sådana gratisprogram på nätet och är ett måste för att alla som planerar att vinna poker pengar på poker. Kräver en hel del övning om man själv ska använda detta live under pokerturneringar eftersom sekunderna lätt tickar iväg och man även har annat att tänka på i dessa lägen! Men gamla "proffs" som jag själv kan räkna på sådant i huvudet med hyfsad träffsäkerhet!

Om det mot förmodan finns någon med intresse för hur den exakta uträkningen ser ut som gjordes ovan så kommer den här: (4!48!/(12!12!12!12!))/(52!/(13!13!13!13!)) = 0,10550 (=) 10,5 %.

Det är alltid fascinerande att räkna med tal som är extremt stora. Lättast att hamna på den nivån blir det alltså om man ägnar sig åt hasardspel eller åt den amerikanska statsskulden!